Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, Toán chuyên lớp 7 đóng vai trò là nền tảng quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết các bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ giúp các bạn khám phá 2 chuyên đề trọng tâm: Đa thức và Các đường đồng quy trong tam giác, kèm theo lời giải chi tiết cho các dạng bài tập điển hình.
1. Đại số: Chuyên đề Đa thức và Nghiệm
Đa thức là nội dung xuyên suốt trong chương trình Toán trung học cơ sở. Đối với học sinh lớp 7, dạng bài tìm nghiệm dựa trên đẳng thức cho trước thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện/tỉnh.
Dạng bài: Xác định nghiệm của đa thức dựa vào giá trị biểu thức
Đây là dạng toán yêu cầu tính linh hoạt trong việc lựa chọn các giá trị của biến số để làm triệt tiêu các thành phần trong đẳng thức.
Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) thỏa mãn x. f(x – 1) = (x – 3). f(x). Hãy chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Thay x = 0 vào đẳng thức ban đầu, ta có:
0. f(-1)= (0-3). f(0)
=> 0= -3 . f(0) => f(0). Như vậy, x=0 là một nghiệm của đa thức f(x)
Bước 2: Thay x = 3 vào đẳng thức ban đầu, ta có:
3 . f(3-1) = (3-3) . f(3)
=> 3 . f(2) = 0 => f(2) = 0. Như vậy, x=2 là một nghiệm khác của đa thức f(x)
Kết luận: Đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt là 0 và 2.
2. Hình học: Các đường đồng quy trong tam giác
Các đường đồng quy (trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực) là “xương sống” của hình học lớp 7. Việc nắm vững tính chất Trọng tâm và Trực tâm sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán chứng minh thẳng hàng hoặc cách đều.
Dạng bài: Chứng minh tính chất trung điểm cạnh huyền trong tam giác vuông
Đây là một định lý quan trọng thường được áp dụng để giải các bài toán hình học nâng cao về sau.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh huyền BC cách đều 3 đỉnh A, B, C
Lời giải chi tiết:
Dựng hình: Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MA = MD
Chứng minh: Xét tứ giác ABDC, ta thấy hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường, đồng thời góc vuông BAC = 90°. Suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật..
- Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. => AD = BC => 1/2 AD = 1/2BC =>AM = BM = CM. Vậy điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC
Kết luận
Việc nắm vững các chuyên đề trên không chỉ giúp các bạn đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn tạo tiền đề vững chắc cho chương trình Toán lớp 8 và lớp 9. Đừng quên rèn luyện thêm nhiều dạng bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng phản xạ toán học.
Nếu bạn đang tìm kiếm các khóa học bổ trợ kiến thức Toán chuyên sâu, hãy click vào Fanpage của chúng tôi để nhận tư vấn miễn phí: Vietelite education
